$\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right).\left\{\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\times \left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\right\}$

$=\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right).\left\{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right\}$

   (As $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=0$)         

$=\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right).\left\{\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right\}$   

$=\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)+2\overrightarrow{b}.\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)-\overrightarrow{c}.\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)-\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right)-2\overrightarrow{b}.\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right)+\overrightarrow{c}.\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right)$

$=\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)+0-0-0-2\overrightarrow{b}.\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right)+0$

$=\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)+2\overrightarrow{b}.\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\right)$

$=3\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)=3\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]$