${}^{34}{C}_5+\sum _{r=0}^4{}^{(38-r)}{C}_4$

$={}^{34}C_5+{}^{38}C_4+{}^{37}C_4+{}^{36}C_4+{}^{35}C_4+{}^{34}C_4$

$=\left({}^{34}C_5+{}^{34}C_4\right)+{}^{38}C_4+{}^{37}C_4+{}^{36}C_4+{}^{35}C_4$

Now we know that ${}^{n}C_r+{}^{n}C_{r-1}={}^{n+1}C_r$

$={}^{35}C_5+{}^{35}C_4+{}^{36}C_4+{}^{37}C_4+{}^{38}C_4$

$={}^{35}C_5+{}^{35}C_4+{}^{36}C_4+{}^{37}C_4+{}^{38}C_4$

$={}^{37}C_5+{}^{37}C_4+{}^{38}C_4$

$={}^{38}C_5+{}^{38}C_4$

$={}^{39}C_5$