$\bullet \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$

$\Rightarrow 1=A\left(x-2\right)\left(x-3\right)+B\left(x-1\right)\left(x-3\right)+C\left(x-1\right)\left(x-2\right)$

Put $x=1$, $2$, $3$

$A=\frac{1}{2}$, $B=-1$, $C=\frac{1}{2}$

$\bullet \frac{x}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\frac{P}{x-1}+\frac{Q}{x-2}+\frac{R}{x-3}$

$\Rightarrow x=P\left(x-2\right)\left(x-3\right)+Q\left(x-1\right)\left(x-3\right)+R\left(x-1\right)\left(x-2\right)$

Put $x=1$

$\Rightarrow P=\frac{1}{2}$Put $x=2$

$\Rightarrow Q=\frac{2}{-1}=-2$

Put $x=3$

$\Rightarrow R=\frac{3}{2}$

Now, $A+2B+3C=\frac{1}{2}+\left(-2\right)+\frac{3}{2}=0$

Also, $P+Q+R=\frac{1}{2}-2+\frac{3}{2}=0$

$\Rightarrow A+2B+3C=P+Q+R$