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If $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ and $\mathrm{c}$ are three non-coplanar vectors, then $(\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}) \cdot[(\mathbf{a}-\mathbf{b}) \times(\mathbf{b}-\mathbf{c})$ equals
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Verified Answer
The correct answer is:
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \times \mathbf{c}$
$[\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}] \cdot[(\mathrm{a}-\mathrm{b}) \times(\mathrm{b}-\mathrm{c})$
$=(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}) \cdot[\mathrm{a} \times \mathrm{b}-\mathrm{a} \times \mathrm{c}-\mathrm{b} \times \mathrm{b}+\mathrm{b} \times \mathrm{c}]$
$=\mathrm{a} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{b})-\mathrm{a} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{c})+\mathrm{a} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})+\mathrm{b}$
$(\mathrm{a} \times \mathrm{b})-\mathrm{b}(\mathrm{a} \times \mathrm{c})+\mathrm{b} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})-\mathrm{c} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{b})$
$+\mathrm{c} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{c})-\mathrm{c} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})$
$=\mathrm{a} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})-\mathrm{b} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{c})-\mathrm{c} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{b})$
$=[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]-[\mathrm{b} \mathrm{a} \mathrm{c}]-[\mathrm{c} \mathrm{a} \mathrm{b}]$
$=[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]+[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]-[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]$
$=[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]=\mathrm{a} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})$
$=(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}) \cdot[\mathrm{a} \times \mathrm{b}-\mathrm{a} \times \mathrm{c}-\mathrm{b} \times \mathrm{b}+\mathrm{b} \times \mathrm{c}]$
$=\mathrm{a} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{b})-\mathrm{a} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{c})+\mathrm{a} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})+\mathrm{b}$
$(\mathrm{a} \times \mathrm{b})-\mathrm{b}(\mathrm{a} \times \mathrm{c})+\mathrm{b} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})-\mathrm{c} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{b})$
$+\mathrm{c} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{c})-\mathrm{c} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})$
$=\mathrm{a} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})-\mathrm{b} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{c})-\mathrm{c} \cdot(\mathrm{a} \times \mathrm{b})$
$=[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]-[\mathrm{b} \mathrm{a} \mathrm{c}]-[\mathrm{c} \mathrm{a} \mathrm{b}]$
$=[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]+[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]-[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]$
$=[\mathrm{a} \mathrm{b} \mathrm{c}]=\mathrm{a} \cdot(\mathrm{b} \times \mathrm{c})$
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