$\alpha =\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)·\frac{\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)}{\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)·\frac{\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\right)}{\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\right]}+\left(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\right)·\frac{\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)}{\left[\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\right]}$

$\Rightarrow \alpha =\frac{\overrightarrow{a}·\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)+0}{\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]}+\frac{\overrightarrow{b}·\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\right)+0}{\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\right]}+\frac{\overrightarrow{c}·\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)+0}{\left[\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\right]}$

$\Rightarrow \alpha =3$

$\beta =\frac{\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)·\left(\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}\right)+\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)+\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\right)+\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}\right)\right)}{\overrightarrow{b}·\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right)}$

$\Rightarrow \beta =\frac{\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)+\overrightarrow{a}·\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{b}·\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\right)}{\overrightarrow{b}·\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right)}$

$\Rightarrow \beta =-1$

$\Rightarrow \alpha +\beta =2$