Given, $\left|\overrightarrow{a}\right|=1,\left|\overrightarrow{b}\right|=2,\left|\overrightarrow{c}\right|=3$ and 

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}$ (as the three vectors are mutually perpendicular)

So, 

$[(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})].\overrightarrow{c}$

$=[\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}-0+0-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{}].\overrightarrow{c}$

$=[2(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}).\overrightarrow{c}+(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}).\overrightarrow{c}-(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}).\overrightarrow{c}]$

$=2(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}).\overrightarrow{c}+0-0$

$=2\left[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}\right]$

$=2·1·2·3$

$=12$