Let, $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{b}+6\overrightarrow{c}$

Now, vector equation of line joining $OA \& OB$

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{OA}+t\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right), t\in R$

    $=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+t\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)$

     $=\left(2+t\right)\overrightarrow{a}+\left(3+t\right)\overrightarrow{b}+\left(-1-t\right)\overrightarrow{c} ...\left(\mathrm{i}\right)$

Similarly, vector equation of line joining $OC \& OD$

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{OC}+s\left(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\right), s\in R$

   $=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}+s\left(-4\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\right)$

    $=\overrightarrow{a}+\left(-2-4s\right)\overrightarrow{b}+\left(3+3s\right)\overrightarrow{c} ...\left(\mathrm{ii}\right)$

Comparing Equations $\left(\mathrm{i}\right) \& \left(\mathrm{ii}\right)$, we get

$2+t=1=t=-1$

And, $-2-4s=3+t$

$\Rightarrow -2-4s=3-1$

$\Rightarrow s=-1$

Substituting these values in $\left(\mathrm{i}\right)$, we get

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$