Given, $\underset{x\to a}{\lim }\frac{xf\left(a\right)-af\left(x\right)}{x-a}$  and  $f^{\text{'}}\left(a\right)=af\left(a\right)$

Now,

Let, $\mathrm{L}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{xf\left(a\right)-af\left(x\right)}{x-a}$

Putting, $x=a+h$

So, $x\to a\Rightarrow h\to 0$

$\therefore \mathrm{L}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left(a+h\right)f\left(a\right)-af\left(a+h\right)}{a+h-a}$

$\Rightarrow \mathrm{L}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{hf\left(a\right)-af\left(a+h\right)+af\left(a\right)}{h}$

$\Rightarrow \mathrm{L}=f\left(a\right)-a\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$

$\Rightarrow \mathrm{L}=f\left(a\right)-a{f}^{\text{'}}\left(a\right)$

$\Rightarrow \mathrm{L}=f\left(a\right)-a^{2}f\left(a\right)$

$\therefore \mathrm{L}=\left(1-a^2\right)f\left(a\right)$

Hence, option $1$ is correct.