Given $L_1: x-2y+3=0$

and $8x^2-14xy+5y^2=0$  

To find separate equations 

$x=\frac{14y\pm \sqrt{196y^2-160y^2}}{16}$

$x=\frac{14y\pm 6y}{16}=\frac{7y\pm 3y}{8}$

$\Rightarrow 8x=10y \& 8x=4y$

$\Rightarrow L_2: 4x=5y \& L_3: 2x=y$

Now, intersection point of $L_2 \& L_3$ is $A\left(0, 0\right)$

The intersection point of $L_1 \& L_3$ is $B\left(1, 2\right)$

and $L_2 \& L_1$ is $C\left(5, 4\right)$

Now, centroid of $△ABC$ is 

$p=\frac{0+1+5}{3}=2, q=\frac{0+2+4}{3}=2$

$\Rightarrow p=q$