$$
\begin{aligned}
&\sinh \mathrm{x}=\tan \mathrm{A} \\
& \tan \mathrm{A}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}}{2} \\
& \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}=2 \tan \mathrm{A} \\
& \left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right)^2-2 \tan \mathrm{A} \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1=0 \\
& \mathrm{e}^{\mathrm{x}}=\frac{2 \tan \mathrm{A} \pm \sqrt{4 \tan ^2 \mathrm{~A}+4}}{2} \\
& \mathrm{e}^{\mathrm{x}}=\frac{2 \tan \mathrm{A} \pm 2 \sec \mathrm{A}}{2} \\
& \mathrm{e}^{\mathrm{x}}=\tan \mathrm{A} \sec \mathrm{A} \\
& \mathrm{e}^{-\mathrm{x}}=\frac{1}{\tan \mathrm{A}+\sec \mathrm{A}}
\end{aligned}
$$
Add both side $\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$.
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^{-\mathrm{x}}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}=\frac{1}{\sec \mathrm{A}+\tan \mathrm{A}} \times \frac{\sec \mathrm{A}-\tan \mathrm{A}}{\sec \mathrm{A}-\tan \mathrm{A}} \\
& +\tan \mathrm{A}+\sec \mathrm{A} \\
& =\sec \mathrm{A}-\tan \mathrm{A}+\tan \mathrm{A}+\sec \mathrm{A}=2 \sec \mathrm{A}
\end{aligned}
$$
Now, $\tan \mathrm{hx} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}}$
$$
=\frac{2 \tan \mathrm{A}}{2 \sec \mathrm{A}}=\stackrel{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}}{\sin \mathrm{A}=|\sin \mathrm{A}|}
$$
Therefore, option (a) is correct.