$\bullet x^2+y^2+2kx+4y-4=0$

Centre $\left(C_1\right)=\left(-k,-2\right)$

Radius $\left(R_1\right)=\sqrt{k^2+4+4}=\sqrt{k^2+8}$

$\bullet x^2+y^2+6x-2y+6=0$

Centre $\left(C_2\right)=\left(-3,1\right)$

Radius $\left(R_2\right)=\sqrt{9+1-6}=2$

$\bullet$ Circle touch each others

$C_1{C}_2=R_1+R_2$

$\Rightarrow \sqrt{{\left(-3+k\right)}^2+{\left(1+2\right)}^2}=\sqrt{k^2+8}+2$

$\Rightarrow \sqrt{k^2-6k+18}=\sqrt{k^2+8}+2$

$\Rightarrow k^2-6k+18=k^2+8+4+4\sqrt{k^2+8}$

$\Rightarrow 6-6k=4\sqrt{k^2+8}$

$\Rightarrow 3\left(1-k\right)=2\sqrt{k^2+8}$

$\Rightarrow 9\left(k^2-2k+1\right)=4k^2+32$

$\Rightarrow 5k^2-18k-23=0$

$\Rightarrow \left(k+1\right)\left(5k-23\right)=0$

$\Rightarrow k=-1,\frac{23}{5}$

As centre lies in $4^{th}$ quadrant $-k>0$

$\Rightarrow k=-1$