$\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\times \left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d}\right)+\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right)\times \left(\overrightarrow{d}\times \overrightarrow{b}\right)+\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{d}\right)\times \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)$

$\Rightarrow [\overrightarrow{a}·(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d}\left)\right]\overrightarrow{b}-[\overrightarrow{b}·(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d}\left)\right]\overrightarrow{a}+[\overrightarrow{a}·(\overrightarrow{d}\times \overrightarrow{b}\left)\right]\overrightarrow{c}-[\overrightarrow{c}·(\overrightarrow{d}\times \overrightarrow{d}\left)\right]\overrightarrow{a}+[\overrightarrow{a}·(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\left)\right]d-[\overrightarrow{d}·(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\left)\right]\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow \left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{b}-\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{a}+\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{d}\overrightarrow{b}\right]\overrightarrow{c}-\left[\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\overrightarrow{b}\right]\overrightarrow{a}+\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]\overrightarrow{d}-\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{\mathrm{c}}\right]\overrightarrow{a}$  $\left(\therefore \overrightarrow{a}·\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)=\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]\right)$

$\Rightarrow -\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{a}-\left[\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\overrightarrow{b}\right]\overrightarrow{a}-\left[\overrightarrow{d}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]\overrightarrow{a}+\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{b}+\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{d}\overrightarrow{b}\right]\overrightarrow{c}+\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]\overrightarrow{d}$

$\Rightarrow -3\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{a}+\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{b}+\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{d}\overrightarrow{b}\right]\overrightarrow{c}+\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]\overrightarrow{d}$

$\Rightarrow -3\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{a}+\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{b}+\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{c}+\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\right]\overrightarrow{d}$

$\Rightarrow \left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{a}-3\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right]\overrightarrow{a}$

$=-2\left[\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{d}\right] \overrightarrow{a}$

$\therefore$ It is parallel to $\overrightarrow{a}$.