We have,

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1$

And,

$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}=-2\overrightarrow{b}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}\right)·\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}\right)=-\left(2\overrightarrow{b}\right)·\left(-2\overrightarrow{b}\right)$

$\Rightarrow {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+4{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+4\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}=4{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$

$\Rightarrow 1+4+4\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}=4$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}=\frac{-1}{4}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{c}\right|\cos \theta =-\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \cos \theta =-\frac{1}{4}$

Then,

$\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{c}\right|\sin \theta$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right|=\sin \theta$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right|=\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right|=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$