$\mathrm{L}\mathrm{H}\mathrm{S}\mathrm{}=12\sin x+5\cos x\in \left[-\sqrt{12^2+5^2},\sqrt{12^2+5^2}\right]$
i.e. $\left[-\mathrm{13,13}\right]$ i.e.
maximum value of $\mathrm{L}\mathrm{H}\mathrm{S}$ is $13$
$\mathrm{R}\mathrm{H}\mathrm{S}\mathrm{}=2\left(y^2-4y+4\right)+13$
$=2{\left(y-2\right)}^2+13$
$\mathrm{R}\mathrm{H}\mathrm{S}\ge 13$
Roots of the equation exist if $\mathrm{L}\mathrm{H}\mathrm{S}=\mathrm{R}\mathrm{H}\mathrm{S}=13.$

$\mathrm{R}\mathrm{H}\mathrm{S}=13$ when $y=2$
$\mathrm{L}\mathrm{H}\mathrm{S}=13\Rightarrow 12\sin x+5\cos x=13$
$\Rightarrow \frac{12}{13}\sin x+\frac{5}{13}\cos x=1$
$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(x+\alpha \right)=1,$ where $\tan \alpha =\frac{5}{12}$
$x+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{5}{12}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{5}{12}$
$\Rightarrow xy=\pi -2\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{5}{12}\Rightarrow \frac{5}{12}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{xy}{2}\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\frac{xy}{2}\right)$
$\Rightarrow 12\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\frac{xy}{2}\right)=5$