Given $x={}^{16}C_5+{}^{12}C_4, y=\sum _{r=1}^3{}^{\left(20-r\right)}C_4, z=\sum _{k=1}^4{}^{\left(16-k\right)}C_3.$

Then $x+y+z={}^{16}C_5+{}^{12}C_4+\sum _{r=1}^3{}^{\left(20-r\right)}C_4+\sum _{k=1}^4{}^{\left(16-k\right)}C_3$

$\Rightarrow x+y+z={}^{16}C_5+{}^{12}C_4+\left({}^{19}C_4+{}^{18}C_4+{}^{17}C_4\right)+\left({}^{15}C_3+{}^{14}C_3+{}^{13}C_3+{}^{12}C_3\right)$

$\Rightarrow x+y+z={}^{12}C_3+{}^{12}C_4+{}^{13}C_3+{}^{14}C_3+{}^{15}C_3+{}^{16}C_5+{}^{17}C_4+{}^{18}C_4+{}^{19}C_4$

Using ${}^{n}C_r+{}^{n}C_{r-1}={}^{n+1}C_r,$ we get

$x+y+z={}^{13}C_4+{}^{13}C_3+{}^{14}C_3+{}^{15}C_3+{}^{16}C_5+{}^{17}C_4+{}^{18}C_4+{}^{19}C_4$

Again, using the same relation, we get

$x+y+z={}^{14}C_4+{}^{14}C_3+{}^{15}C_3+{}^{16}C_5+{}^{17}C_4+{}^{18}C_4+{}^{19}C_4$

$\Rightarrow x+y+z={}^{15}C_4+{}^{15}C_3+{}^{16}C_5+{}^{17}C_4+{}^{18}C_4+{}^{19}C_4$

$\Rightarrow x+y+z={}^{16}C_4+{}^{16}C_5+{}^{17}C_4+{}^{18}C_4+{}^{19}C_4$

$\Rightarrow x+y+z={}^{17}C_5+{}^{17}C_4+{}^{18}C_4+{}^{19}C_4$

$\Rightarrow x+y+z={}^{18}C_5+{}^{18}C_4+{}^{19}C_4$

$\Rightarrow x+y+z={}^{19}C_5+{}^{19}C_4$

$\Rightarrow x+y+z={}^{20}C_5$

Using ${}^{n}C_r=\frac{n!}{r!\times \left(n-r\right)!},$ we get

$x+y+z=\frac{20!}{5!\times 15!}$

$\Rightarrow x+y+z=\frac{20\times 19\times 18\times 17\times 16\times 15!}{\left(5\times 4\times 3\times 2\times 1\right)\times 15!}$

$\Rightarrow x+y+z=19\times 17\times 48$