Given:

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{{\left[x\right]}^2+\left[x\right]-2}}$

Here, $f\left(x\right)$ is defined for

${\left[x\right]}^2+\left[x\right]-2>0$

Put $\left[x\right]=t$, then

$t^2+t-2>0$

$\Rightarrow \left(t-1\right)\left(t+2\right)>0$

$\Rightarrow t\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(1,\infty \right)$

$\Rightarrow \left[x\right]\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(1,\infty \right)$

$\Rightarrow x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup [2,\infty )$

Now,

$x\ge 2$

$\Rightarrow \left[x\right]\ge 2$

$\Rightarrow {\left[x\right]}^2\ge 4$

$\Rightarrow {\left[x\right]}^2+\left[x\right]\ge 6$

$\Rightarrow {\left[x\right]}^2+\left[x\right]-2\ge 4$

$\Rightarrow \frac{1}{{\left[x\right]}^2+\left[x\right]-2}\le \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{{\left[x\right]}^2+\left[x\right]-2}}\le \frac{1}{2}$

Also, when $x<-2$, then

${\left[x\right]}^2+\left[x\right]-2>0$

So, $\frac{1}{\sqrt{{\left[x\right]}^2+\left[x\right]-2}}>0$

Hence, $0<\frac{1}{\sqrt{{\left[x\right]}^2+\left[x\right]-2}}\le \frac{1}{2}$.

So, range of given function is $(0,\frac{1}{2}]$.