For $△ABC$, exradii $r_1=\frac{△}{s-a}$, $r_2=\frac{△}{s-b}$, $r_1=\frac{△}{s-c}$ and inradius $r=\frac{△}{s}$, where $s$ is the semi-perimeter of the triangle and $r$ is the radius of in-circle.

And, $△=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\frac{abc}{4R}$

Now, $r_1+r_2+r_3-r$

$=\frac{△}{s-a}+\frac{△}{s-b}+\frac{△}{s-c}-\frac{△}{s}$

$=△\times \frac{s\left(s-b\right)\left(s-c\right)+s\left(s-a\right)\left(s-c\right)+s\left(s-a\right)\left(s-b\right)-\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=△\times \frac{s\left(s-b\right)\left(s-c\right)+s\left(s-a\right)\left(s-c\right)+s\left(s-a\right)\left(s-b\right)-\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{{△}^2}$

$=\frac{s\left(s-c\right)\left[\left(s-b\right)+\left(s-a\right)\right]+\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left[s-\left(s-c\right)\right]}{△}$

$=\frac{cs\left(s-c\right)+c\left(s-a\right)\left(s-b\right)}{△}$

$=\frac{c\left[s^2-sc+s^2-as-bs+ab\right]}{△}$

$=\frac{c\left[2s^2-s·2s+ab\right]}{△}$

$=\frac{abc}{△}$

$=4R$