Given, $\overrightarrow{a}=2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{4+1+4}=3$

Now, $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& 1& -2\\ 1& 1& 0\end{array}\right|$

            $=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$

Then, $\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|=\sqrt{4+4+1}=3$

Now, we have $\left|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\right|=2\sqrt{2}$

$\Rightarrow {\left|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\right|}^2=8$

$\Rightarrow {\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-2\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}=8$

$\Rightarrow {\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+9-2\left|\overrightarrow{c}\right|=8$

$\Rightarrow {\left|\overrightarrow{c}\right|}^2-2\left|\overrightarrow{c}\right|+1=0$

$\Rightarrow {\left(\left|\overrightarrow{c}\right|-1\right)}^2=0$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{c}\right|=1$

Now, $\left|\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}\right|=\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|\left|\overrightarrow{c}\right|\sin 30°$

                          $=3\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$