$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right)=-4\overrightarrow{b} \\ \Rightarrow \left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\right)\overrightarrow{a}-\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{c}=-4\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

Let, $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{c}\right|\cos \theta$
$\Rightarrow 15\cos \theta \mathrm{}\overrightarrow{a}-9\overrightarrow{c}=-4\overrightarrow{b}$
$\Rightarrow {\left|15\cos \theta \mathrm{}\overrightarrow{a}-9\overrightarrow{c}\right|}^2=16{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$
$\Rightarrow 225\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\theta \times 9+81\times 25-270\times 15\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\theta =16\times 16$
$\Rightarrow 2025\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\theta =1769$
$\Rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\theta =\frac{1769}{2025}$
$\Rightarrow \mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta =\frac{256}{2025}$
${\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta$
$\Rightarrow {\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right|}^2=\frac{256}{9}$