We have, $\hat{b}=\overrightarrow{c}+2\left(\overrightarrow{c}\times \hat{a}\right)$,

$\hat{b}·\hat{b}=\left(\overrightarrow{c}+2\left(\overrightarrow{c}\times \hat{a}\right)\right)·\left(\overrightarrow{c}+2\left(\overrightarrow{c}\times \hat{a}\right)\right)$

$\Rightarrow 1=\left(\overrightarrow{c}·\overrightarrow{c}\right)+\overrightarrow{c}·2\left(\overrightarrow{c}\times \hat{a}\right)+2\left(\overrightarrow{c}\times \hat{a}\right)·\overrightarrow{c}+4\left(\overrightarrow{c}\times \hat{a}\right)·\left(\overrightarrow{c}\times \hat{a}\right)$

$\Rightarrow 1={\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+0+0+{\left|\overrightarrow{c}\times \hat{a}\right|}^2$  $\Rightarrow 1={\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+4{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2{\left|\hat{a}\right|}^2{\sin }^2\frac{\pi }{12}$

$\Rightarrow 1={\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+4{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2\left(\frac{1-\cos \frac{\pi }{6}}{2}\right)$

$\Rightarrow 1={\left|\overrightarrow{c}\right|}^2\left[1+2\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]$ $\Rightarrow 1={\left|\overrightarrow{c}\right|}^2\left[3-\sqrt{3}\right]$ $\Rightarrow {\left|\overrightarrow{c}\right|}^2=\frac{1}{3-\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$

$\therefore 36{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2=\frac{3+\sqrt{3}}{6}\times 36=6\left(3+\sqrt{3}\right)$