Given $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right),\mathrm{ }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$ are two continuous differentiable functions
satisfying $\mathrm{f}\mathrm{\prime }\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right),\mathrm{ }\mathrm{f}\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\mathrm{\prime }\left(\mathrm{x}\right)$ and $\mathrm{f}\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\left(\mathrm{x}\right)=-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$
Hence $\mathrm{g}\mathrm{\prime }\left(\mathrm{x}\right)=-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$
Given $h\left(x\right)={\left[f\left(x\right)\right]}^2+{\left[g\left(x\right)\right]}^2$

Differentiating the above equation,
$\mathrm{h}\mathrm{\prime }\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ }\mathrm{f}\mathrm{\prime }\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ }+\mathrm{ }2\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ }\mathrm{g}\mathrm{\prime }\left(\mathrm{x}\right)$
$h\text{'}\left(x\right)=2\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ }+\mathrm{ }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ }\left[-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right]\right]$
$h\text{'}\left(x\right)=2\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{ }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=0$
$\therefore \mathrm{ }\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{C}$ , a constant
$\therefore \mathrm{ }\mathrm{h}\left(0\right)=\mathrm{C}\mathrm{ }$ i.e. $\mathrm{ }\mathrm{C}=5$
$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=5$ for all $\mathrm{x}$ .
Hence $\mathrm{h}\left(10\right)=5$ .