Given, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=$ Sum of first n terms of an AP.
$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{h}}{2}[2 \mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}]$ or $\mathrm{S}_{2 \mathrm{n}}=\frac{2 \mathrm{n}}{2}[2 \mathrm{a}+(2 \mathrm{n}-1) \mathrm{d}]$
Similarly, $\quad S_{3 n}=\frac{3 n}{2}[3 a+(3 n-1) d]$
According to direction, $3 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=2 \mathrm{~S}_{2 \mathrm{n}}$
Putting the value of $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ and $\mathrm{S}_{2 \mathrm{n}}$ in above equation. $3\left(\frac{\mathrm{n}}{2}\right)[2 \mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}]=2\left(\frac{\mathrm{n}}{2}\right)[2 \mathrm{a}+(2 \mathrm{n}-1) \mathrm{d}]$
$6 a+3(n-1) d=4 a+2(n-1) d$
$2 \mathrm{a}=\mathrm{d}(\mathrm{n}+1)$
$\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[\mathrm{~d}(\mathrm{n}+1)+\mathrm{d}(\mathrm{n}-1)]$
$=\frac{\mathrm{n}}{2}[\mathrm{dn}+\mathrm{d}+\mathrm{dn}-\mathrm{d}]$
$=\frac{\mathrm{n}}{2}(2 \mathrm{dn})=\mathrm{n}^{2} \mathrm{~d}$
Now, $\mathrm{S}_{2 \mathrm{n}}=\mathrm{n}[\mathrm{d}(\mathrm{n}+1)+(2 \mathrm{n}-1) \mathrm{d}]=3 \mathrm{n}^{2} \mathrm{~d}$
$\mathrm{S}_{3 \mathrm{n}}=\frac{3 \mathrm{n}}{2}[\mathrm{~d}(\mathrm{n}+1+3 \mathrm{n}-1)]=6 \mathrm{n}^{2} \mathrm{~d}$
Hence, $\frac{\mathrm{S}_{3 \mathrm{n}}}{\mathrm{S}_{\mathrm{n}}}=\frac{6 \mathrm{n}^{2} \mathrm{~d}}{\mathrm{n}^{2} \mathrm{~d}}=\frac{6}{1}=6: 1$