Given, $I=\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\ln x\right)dx$

Let, $\ln x=t\Rightarrow x=e^t\Rightarrow dx=e^{t}dt$

$\therefore I=\int e^t\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}tdt$

$\int e^t\cos tdt=\frac{1}{2}\int e^t\left(\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}t+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t\right)+\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}t-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t\right)\right)dt$

$\int e^t\cos t dt=\frac{1}{2}{e}^t\left(\mathrm{cost}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t\right)+C$, where $C$ is the constant of integration.

$=\frac{x}{2}\left(\cos \left(\mathrm{lnx}\right)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\ln x\right)\right)+C$.