Let the general equation of circle be

${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{g}\mathrm{x}+2\mathrm{f}\mathrm{y}+\mathrm{c}=0$ ....... (i)

It cuts the circle ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-\mathrm{ }20\mathrm{x}+4=0$ orthogonally

$\therefore 2\mathrm{ }\left(-10\mathrm{g}+0\mathrm{ }\times \mathrm{f}\mathrm{ }\right)=\mathrm{ }\mathrm{c}+4\mathrm{ }\Rightarrow -\mathrm{ }20\mathrm{ }\mathrm{g}=\mathrm{c}+4$ .......(ii)

$\because$ circle (i) touches $\mathrm{x}=2$

therefore,  perpendicular distance from centre to the tangent to the circle=radius

$\Rightarrow \left|\frac{-\mathrm{g}+0-2}{\sqrt{{\mathrm{1}}^2+0^2}}\right|=\sqrt{{\mathrm{g}}^2+{\mathrm{f}}^2-\mathrm{c}}$

$\Rightarrow {\left(\mathrm{g}+2\right)}^2=\mathrm{ }{\mathrm{g}}^2+{\mathrm{f}}^2-\mathrm{c}$

$\Rightarrow {\mathrm{g}}^2+4+4\mathrm{g}={\mathrm{g}}^2+{\mathrm{f}}^2-\mathrm{c}\Rightarrow \mathrm{ }4\mathrm{g}+4={\mathrm{f}}^2-\mathrm{c}$ ... (iii)

on eliminating $\mathrm{c}$ from (ii) and (iii) we get

$-16\mathrm{g}+4={\mathrm{f}}^2+4\Rightarrow {\mathrm{f}}^2\mathrm{ }+16\mathrm{g}=0$

Hence, locus of $\left(-\mathrm{g},\mathrm{ }-\mathrm{f}\right)$ is,

${\mathrm{y}}^2-\mathrm{ }16\mathrm{x}=0$ (replacing $-\mathrm{f}\mathrm{ }$ & $-\mathrm{g}$ by $\mathrm{x}$ & $\mathrm{y}$ )