For domain, $\cos \theta >0\Rightarrow \theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$
Also, if $\cos \theta >0\Rightarrow \frac{4}{\cos \theta }\ne 1$
$\Rightarrow {\left(\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_2\cos \theta \right)}^2+\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_2\left(16\cos \theta \right)}{\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_2\left(\frac{4}{\cos \theta }\right)}=2$
$\Rightarrow {\left(\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \right)}^2+\left(\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{2}16+\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }{\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{2}4-\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }\right)=2$
Let, $\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_2\cos \theta =t$

$\Rightarrow t^2+\left(\frac{4+t}{2-t}\right)=2$
$\Rightarrow 2t^2-t^3+4+t=4-2t\Rightarrow t^3-2t^2-3t=0$
$\Rightarrow t=\mathrm{0,3},-1$ .
$t=0\Rightarrow \mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =0\Rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =1\Rightarrow \theta =0$
$t=-1\Rightarrow \mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =-1\Rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =\frac{1}{2}\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}.$
$t=3\Rightarrow \mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =3\Rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =8$ (not possible)
$\Rightarrow$ Number of solutions are $3$