$S=\frac{7}{17}+\frac{77}{17^2}+\frac{777}{17^3}+.......$

$\frac{S}{17}=\frac{7}{{17}^2}+\frac{77}{{17}^3}+\frac{777}{{17}^4}+........$

Subtracting both the above results, we get,

$\frac{16}{17}S=\frac{7}{17}+\frac{70}{{17}^2}+\frac{700}{{17}^3}+.......$
 $\left(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e }\mathrm{G}.\mathrm{P}.\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{h }\mathrm{r }=\frac{10}{17}\right)$
$\frac{16}{17}S=\frac{\frac{7}{17}}{1-\frac{10}{17}}=\frac{\frac{7}{17}}{\frac{7}{17}}=1$
$S=\frac{17}{16}$