Rate of dissipation of energy in resistor $={\mathrm{i}}^2\mathrm{R}$
Rate of energy stored in inductor $=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\left(\frac{1}{2}\mathrm{L}{\mathrm{i}}^2\right)=\mathrm{L}\mathrm{i}\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$
${\mathrm{i}}^2\mathrm{R}=\mathrm{L}\mathrm{i}\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$
$\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=\mathrm{i}\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{L}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\dots \left(\mathrm{i}\right)$
In $\mathrm{L}-\mathrm{R}\mathrm{ }$ circuit:

$\mathrm{i}={\mathrm{i}}_0\left(1-{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{\tau }}}\right)\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }(\therefore \mathrm{ }\mathrm{\tau }=\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{R}}=2)$
$\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=\frac{{\mathrm{i}}_0}{\mathrm{\tau }}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}/\mathrm{\tau }}$
From equation (i),

$\frac{{\mathrm{i}}_0}{\mathrm{\tau }}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}/\mathrm{\tau }}={\mathrm{i}}_0\left(1-{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{\tau }}}\right)\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{L}}$
${\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}/\mathrm{\tau }}=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}/\mathrm{\tau }}$
${\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{\tau }}}=\frac{1}{2}\mathrm{ }\mathrm{ }\Rightarrow \mathrm{t}=\tau \ln 2$
$=2 \ln 2$