Given, $\left|\overrightarrow{a}\right|=3, \left|\overrightarrow{b}\right|=5, \left|\overrightarrow{c}\right|=7$

Now, $\overrightarrow{a}\perp \left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$. Therefore, $\overrightarrow{a}·\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=0$

$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}=0 ...\left(\mathrm{i}\right)$

Similarly, $\overrightarrow{b}·\left(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}=0 ...\left(\mathrm{ii}\right)$

$\overrightarrow{c}·\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}·\overrightarrow{b}=0 ...\left(\mathrm{iii}\right)$

By $\left(\mathrm{i}\right), \left(\mathrm{ii}\right) \& \left(\mathrm{iii}\right)$, we get

$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}=0$

Now, $\sqrt{{\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}^2-2}$

$=\sqrt{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+2\left( \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}\right)-2}$

$=\sqrt{9+25+49-2}=9$