Let us consider the motion of the ball with respect to disk





$\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{ }\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}=m{\omega }^{2}r\mathrm{ }\sin \theta$

$=m{\omega }^{2}r \frac{x}{r}$

$=m{\omega }^{2}x$

$\therefore ma=m{\omega }^{2}x$

$\Rightarrow v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}={\omega }^{2}x$

$\Rightarrow {\int }_0^{v}vdv={\int }_0^{\raisebox{1ex}{$R$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}{\omega }^{2}xdx$

$\Rightarrow \frac{v^2}{2}=\frac{{\omega }^2}{2}{\left(\frac{R}{2}\right)}^2$

$\Rightarrow v=\frac{\omega R}{2}$

${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l},\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}}={\overrightarrow{v}}_{\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l},\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{k}}+\mathrm{ }{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{Disk},\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}}$

$\therefore \left|{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{Ball},\mathrm{Ground}}\right|$

$=\mathrm{ }{\left\{{\left(\omega R\right)}^2+{\left(\frac{\omega R}{2}\right)}^2+2\left(\omega R\right)\left(\frac{\omega R}{2}\right)\cos 120°\right\}}^{\frac{1}{2}}$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}\omega R$