Put, $\mathrm{I}=\int \left({\mathrm{x}}^{3\mathrm{m}}+{\mathrm{x}}^{2\mathrm{m}}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\right)\left(\frac{{\left(2{\mathrm{x}}^{3\mathrm{m}}+3{\mathrm{x}}^{2\mathrm{m}}+6{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\right)}^{1/\mathrm{m}}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=\int \left({\mathrm{x}}^{3\mathrm{m}-1}+{\mathrm{x}}^{2\mathrm{m}-1}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-1}\right){\left(2{\mathrm{x}}^{3\mathrm{m}\mathrm{ }}+3{\mathrm{x}}^{2\mathrm{m}\mathrm{ }}+6{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\right)}^{1/\mathrm{m}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=\frac{1}{6\mathrm{m}}\int {\left(2{\mathrm{x}}^{3\mathrm{m}}+3{\mathrm{x}}^{2\mathrm{m}}+6{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\right)}^{1/\mathrm{m}}\left(6{\mathrm{mx}}^{3\mathrm{m}-1\mathrm{ }}+6{\mathrm{mx}}^{2\mathrm{m}-1\mathrm{ }}+6{\mathrm{mx}}^{\mathrm{m}-1}\right)\mathrm{dx}$

Now, let $\left(2{\mathrm{x}}^{3\mathrm{m}}+3{\mathrm{x}}^{2\mathrm{m}}+6{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\right)=\mathrm{t}\Rightarrow \left(6{\mathrm{mx}}^{3\mathrm{m}-1\mathrm{ }}+6{\mathrm{mx}}^{2\mathrm{m}-1\mathrm{ }}+6{\mathrm{mx}}^{\mathrm{m}-1}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{dt}$ 

$\Rightarrow \mathrm{I}=\frac{1}{6\mathrm{m}}\int {\mathrm{t}}^{1/\mathrm{m}}\mathrm{dt} =\frac{1}{6\mathrm{m}}\left(\frac{{\mathrm{t}}^{\left(1/\mathrm{m}\right)+1}}{\left(1/\mathrm{m}\right)+1}\right)$

$=\frac{1}{6\left(\mathrm{m}+1\right)}{\left(2{\mathrm{x}}^{3\mathrm{m}}+3{\mathrm{x}}^{2\mathrm{m}}+6{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\right)}^{\mathrm{(1}/\mathrm{m)}+1}+\mathrm{C}$