Given, $\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{a}\right)\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$

$\Rightarrow -\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{r}+\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$

$\Rightarrow \overrightarrow{r}=\frac{1}{4}\left(\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{r}\right)\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}\right) ...\left(\mathrm{i}\right)$

Let, the angle between $\overrightarrow{r}$ and $\overrightarrow{a}$ is $\theta$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|$

$\Rightarrow 1\times 2\sin \theta =\sqrt{3}$

$\Rightarrow \theta =\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

Now, $\overrightarrow{r}·\overrightarrow{a}=1\times 2\cos \frac{\mathrm{\pi }}{3}=1$

Put, $\overrightarrow{r}·\overrightarrow{a}=1$ in the Equation $\left(\mathrm{i}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{r}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}\right)$