We have, $a{\cos }^2\frac{C}{2}+c{\cos }^2\frac{A}{2}=15$

$\Rightarrow a\left(\frac{1+\cos C}{2}\right)+c\left(\frac{1+\cos A}{2}\right)=15$

$\Rightarrow \left(a+c\right)+\left(a\cos C+c\cos A\right)=30$

$\Rightarrow a+b+c=30$

$\Rightarrow a+c=20$

$\Rightarrow s=15 ...\left(1\right)$

Now $∆=15\sqrt{3}=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$

$\Rightarrow 225\times 3=15\times \left(15-a\right)\times 5\times \left(15-c\right)$

$\Rightarrow ac=84 ...\left(2\right)$

also $15\sqrt{3}=\frac{1}{2}\times 84\times \sin B$

$\Rightarrow \sin B=\frac{15\sqrt{3}}{14}$

$\Rightarrow \cos B=\frac{11}{14}$

Therefore, $\cot \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos B}{1-\cos B}}$

$=\sqrt{\frac{1+{\displaystyle \frac{11}{14}}}{1-{\displaystyle \frac{11}{14}}}}=\frac{5}{\sqrt{3}}$.