$\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}x-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}x=\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left(5x-3\right)$
$\Rightarrow \frac{\pi }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}x-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}x=\frac{\pi }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\left(5x-3\right)$
$\Rightarrow 2\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}x=\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\left(5x-3\right). \mathrm{Also} x\in \left[-\mathrm{1,1}\right]$ … $\left(1\right)$
$\Rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\left(2x^2-1\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\left(5x-3\right)$ and $\left(5x-3\right)\in \left[-\mathrm{1,1}\right],$ i.e., $-1\le 5x-3\le 1$
$\Rightarrow 2x^2-1=5x-3, \mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}, x\in \left[\frac{2}{5},\frac{4}{5}\right]$
$\Rightarrow 2x^2-5x+2=0\Rightarrow x=2$ or $\frac{1}{2}$
but, $x=2$ does not satisfy the equation $\left(1\right)$

Hence, the given equation has only one root