We have $\sum _{\mathrm{r}=0}^6\left({}^{6}C_r·{}^{6}C_{6-r}\right)={}^{6}C_0·{}^{6}C_6+{}^{6}C_1·{}^{6}C_5+...+{}^{6}C_6·{}^{6}C_0$

Now, we know that the expansion of ${\left(1+x\right)}^n={}^{n}C_0{x}^0+{}^{n}C_1{x}^1+{}^{n}C_2{x}^2+...{}^{n}C_n{x}^n$

$\Rightarrow (1+x{)}^6(1+x{)}^6=\left({}^{6}C_0+{}^{6}C_{1}x+{}^{6}C_2{x}^2+...+{}^{6}C_6{x}^6\right)\left({}^{6}C_0+{}^{6}C_{1}x+{}^{6}C_2{x}^2+...+{}^{6}C_6{x}^6\right)$

$\Rightarrow (1+x{)}^{12}=\left({}^{6}C_0+{}^{6}C_{1}x+{}^{6}C_2{x}^2+...+{}^{6}C_6{x}^6\right)\left({}^{6}C_0+{}^{6}C_{1}x+{}^{6}C_2{x}^2+...+{}^{6}C_6{x}^6\right)$

On comparing the coefficient of $x^6$ both sides, we get

${}^{12}C_6={}^{6}C_0·{}^{6}C_6+{}^{6}C_1·{}^{6}C_5+...+{}^{6}C_6·{}^{6}C_0$

$\Rightarrow {}^{6}C_0·{}^{6}C_6+{}^{6}C_1·{}^{6}C_5+...+{}^{6}C_6·{}^{6}C_0=\frac{12!}{6!·6!}$

$\Rightarrow {}^{6}C_0·{}^{6}C_6+{}^{6}C_1·{}^{6}C_5+...+{}^{6}C_6·{}^{6}C_0=\frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\times 6!}$

$\Rightarrow {}^{6}C_0·{}^{6}C_6+{}^{6}C_1·{}^{6}C_5+...+{}^{6}C_6·{}^{6}C_0=924.$